处于早高峰的肯德基的客流量较大,虽然出餐速度很快,但我取外带早餐的那家门店只有一名服务员负责将食物分配给顾客,导致取餐流程非常缓慢。

在肯德基这个案例中,有很多可以优化的地方,例如没有固定的排队路径、没有按照单号顺序摆放食物等等,但我在这个案例中主要思考的是,如果增加一个服务员参与分配食物,能够多大程度上改善这个现状?

这是一个典型的排队论问题,我没有统计肯德基内客流的相关数据,所以使用另一个案例类比:假设某银行只有 1 个柜员,每个顾客的平均服务时间是 10 分钟,每小时平均有 5.8 个顾客到达,那么预计等待时间是多少?如果增加一个柜员,等待时间是多少呢?(我们假设顾客到达时间和服务时间是随机的)

这个问题的答案可能有些违反直觉。在只有 1 个柜员的情况下,顾客的平均等待时间约等于 4.8 小时,如果增加至 2 名柜员,平均等待时间并不是减少一半,而是减少到大约 3 分钟左右,二者相差几近 90 倍。

这是我阅读的排队论材料,以下是一些数学说明:

λ 表示单位时间平均到达的顾客数,1/λ 表示顾客相继到达的平均间隔时间,在该案例中,λ = 5.8

μ 表示单位时间能被服务完成的顾客数, 1/μ 表示一个顾客的平均服务时间,在该案例中,μ = 6(10min=1/6h)

s 表示系统中有多少个服务台,在该案例中,即有多少名柜员。

在只有 1 个柜员的情况下,这是单服务台模型 (4.1),每名顾客的平均等待时间是:

Wq=λμ(μλ)=5.86×(65.8)4.8  hW_q=\frac\lambda{\mu(\mu-\lambda)}=\frac{5.8}{6\times\left(6-5.8\right)}\approx4.8\;h

在 2 个柜员的情况下,这是多服务台模型(4.3),则:

s=2ρ=λμ0.97ρs=λsμ0.48s=2,\rho=\frac\lambda\mu\approx0.97,\rho_s=\frac\lambda{s\mu}\approx0.48

空闲概率:

p0=[n=0s1ρnn!+ρss!(1ρs)]10.35p_0=\left[\sum_{n=0}^{s-1}\frac{\rho^n}{n!}+\frac{\rho^s}{s!(1-\rho_s)}\right]^{-1}\approx0.35

平均排队长:

Lq=p0ρsρss!(1ρs)20.29L_q=\frac{p_0\rho^s\rho_s}{s!\left(1-\rho_s\right)^2}\approx0.29

平均等待时间:

Wq=Lqλ0.05h3minW_q=\frac{L_q}\lambda\approx0.05h\approx3min

除了上述情况,我们还可以抽象排队过程为一种随机服务系统,这种系统包括:

  • 输入过程:顾客的数量是有限的还是无限的?到达方式是一个个还是成批的?到达是互相独立的还是相关的?到达间隔时间是平稳的还是不平稳的?

  • 排队规则:顾客到达后,服务台都被占用时,顾客是立即离开(损失)还是排队等待服务?

  • 服务过程:是单服务台还是多服务台?是先到先服务、后到先服务、随机服务,还是优先服务?

知乎上也有人使用排队论解释为什么星巴克是横向排队,麦当劳却是纵向排队,详情见为什么星巴克点单时要横向排队